Kamis, 11 April 2019

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat Variabel

Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat Dua Variabel

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel(SPLDV)
Image result for math lines
Perhatikan kembali tentang materi Siatem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Beberapa metode penyelesaiannya adalah sebagai berikut
 1. Dengan metode grafik
sebagaimana contoh berikut
a)
16
dan
b)
17
2. Dengan metode eliminasi dan atau substitusi
Perhatikan contoh poin b) di atas. Jika dua buah garis dengan persamaan 3x+y=4  dan 2x-y=1, maka untuk mencari titik potong kedua garis tersebut kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi atau gabungan keduanya.
Misalkan kita ingin menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi, maka
\begin{matrix} 3x&+&y&=&4& \\ 2x& -&y&=&1&\\ \end{matrix}
————————-  +
5x=5
  x=1
Selanjutnya nilai x=1 dimasukkan kesalah satu persamaan, misalkan ke 3x + y = 4, sehingga
x=1\: \: \Rightarrow \: \: 3\left ( 1 \right )+y=4\: \: maka\: \: akan\: \: diperoleh \: \: y=1
Coba cermati lagi ternyata titik potong kedua garis tersebut terletak di (1,1), tepat sebagaimana gambar grafik di atas.
B. Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:
\LARGE\boxed{ax^{2}+bx+c=0}
dengan \: \: a,b,c\: \epsilon \: \: \mathbb{R}\: \: dan\: \: a\neq 0
Cara penyelesaian persamaan kuadrat di antaranya sebagai berikut
Persamaan kuadrat \mathbf{ax^{2}+bx+c=0}\: \: dengan\: \: \mathbf{a,b,c\: \epsilon\: \mathbb{R}\: \: dan\: \: a\neq 0 } memiliki akar-akar  \mathbf{x_{1}\: \: dan\: \: x_{2}}  di mana cara memperolehnya dapat menggunakan salah satu di antara 3 cara sebagaimana berikut; pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan formula abc.
1. Pemfaktoran
\LARGE\boxed{ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0}
untuk koefisien  x^{2} lebih dari 1, maka ubahlah menjadi  bentuk
\LARGE\boxed{\frac{1}{a}\left ( ax-p \right )\left ( ax-q \right )=0}
Contoh:
a. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat  x^{2}-3x-10=0
Jawab:
x^{2}-3x-10=\left ( x+2 \right )\left ( x-5 \right )=0 \Leftrightarrow \: \: x=-2\: \: atau \: \: x=5

b. Tentukan akar-akar dari persamaan  2x^{2}-3x-5=0
Jawab:
2x^{2}-3x-5=\frac{1}{2}\left ( 2x+2 \right )\left ( 2x-5 \right )=\left ( x+1 \right )\left ( 2x-5 \right )=0 \Leftrightarrow \: \: x=-1\: \: atau\: \: x=\frac{5}{2}

2. Melengkapkan kuadrat sempurna
ax^{2}+bx+c=0\: \: masing-masing\: \: ruas\: \: dibagi\: \: a,
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\: \: kedua\: \: ruas\: \: ditambah\: \: \LARGE\boxed{(\frac{b}{2a})^{2}},
x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2},
\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}},
\LARGE\boxed{\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}.

Contoh:
Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar dari  2x^{2}-3x-5=0

Jawab:
2x^{2}-3x-5=0.
\frac{2x^{2}}{2}-\frac{3x}{2}-\frac{5}{2}=\frac{0}{2},
x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},
x^{2}-\frac{3}{2}x+\left ( \frac{3}{2\times 2} \right )^{2}=\frac{5}{2}+\left ( \frac{3}{2\times 2} \right )^{2},
\Large{\left ( x-\frac{3}{4} \right )^{2}=\frac{5}{2}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}},
\Large{\left ( x-\frac{3}{4} \right )=\pm \sqrt{\frac{5}{2}+\frac{9}{16}}=\pm \sqrt{\frac{49}{16}}=\pm \frac{7}{4}},
\Leftrightarrow \: \: \Large{x=\frac{3}{4}\pm \frac{7}{4}},
\Leftrightarrow \: \: \Large{x=\frac{3+7}{4}=\frac{5}{2}\: \: atau\: \: x=\frac{3-7}{4}=-1}.

c. formula abc
Perhatikan kembali langkah pada melengkapkan kuadrat sempurna. formula abc sebenarnya pengembangan dari bagian langkah akhirnya.
ax^{2}+bx+c=0\: \: masing-masing\: \: ruas\: \: dibagi\: \: a,
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\: \: kedua\: \: ruas\: \: ditambah\: \: \LARGE\boxed{(\frac{b}{2a})^{2}},
x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2},
\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}},
\Large{x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} },
\LARGE\boxed{x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}

Contoh:
Dengan menggunakan formula abc, tentukan akar-akar dari  2x^{2}-3x-5=0

Jawab:
2x^{2}-3x-5=0\left\{\begin{matrix} a &=&2 \\ b &=&-3 \\ c &=&-5 \end{matrix}\right.
\Large{x=\frac{-(-b)\pm \sqrt{(-3)^{2}-4(2)(-5)}}{2(2)}},
\Large{x=\frac{3\pm \sqrt{9+40}}{4}},
\Large{x=\frac{3\pm 7}{4}},
\Leftrightarrow \: \: x=\frac{5}{2}\: \: atau\: \: x=-1.

c. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat dua Variabel
Bentuk umum:
\left\{\begin{matrix} y &= &ax &+&b \\ y &= &px^{2} &+&qx&+&r \end{matrix}\right.
Langkah-langkah penyelesaian:
  • Substitusikan y=ax+b ke bagian y=px^{2}+qx+r, diperoleh ax+b=px^{2}+qx+r. Sehingga kita mendapatkan px^{2}+(q-a)x+(r-b)=0
  • Nilai-nilai x pada langkah pertama disubstitusikan ke y=ax+b atau y=px^{2}+qx+r
  • Nilai x yang ada tergantung dari nilai diskriminan D persamaan kuadrat , yaitu  \LARGE{D=\left ( q-a \right )^{2}-4p\left ( r-b \right )}
Untuk rincian nilai D sebagai berikut:
\begin{tabular}{|c|c|r|r|}\hline \emph{No}& \multicolumn{1}{|r|}{\emph{Jenis Nilai D}}&{\emph{penjelasan nilai D}}\\\hline 1&\boxed{D>0}&sistem persamaan mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline 2&\boxed{D=0}&sistem persamaan mempunyai tepat satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline 3&\boxed{D<0}&sistem persamaan tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline\end{tabular}
Contoh:
Tentukan penyelesaian SPLKDV  dari y=x+1  dan  y=x^{2}-3x+4 dan buatlah pula gambar grafiknya?
Jawab:
Langkah pertama yaitu kita samakan-y nya, yaitu \Large\fbox{y=y}
x^{2}-3x+4=x+1\: \: \Leftrightarrow \: \: x^{2}-4x+3=0,
\Leftrightarrow \: \: \left ( x-1 \right )\left ( x-3 \right )=0,
\Leftrightarrow \: \: x=1\: \: \: atau\: \: \: x=3
dengan memasukkan nilai x ke persamaan y=x+1 , maka diperoleh nilai y sebagai berikut:
\left\{\begin{matrix} x &= &1, &y=1+1&=&2&titiknya&(1,2) \\ x &= &3, &y=3+1&=&4&titiknya&(3,4) \end{matrix}\right.
Untuk gambar grafiknya perhatikan ilustrasi berikut:
29

0 komentar:

Posting Komentar